Proporción Aritmética: Cómo hallar el término desconocido

En toda proporción aritmética, un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.

Observemos: Sea la proporción aritmética  “ a – b = c – d “

Vamos a demostrar que  “ b = a  +  d  -  c

En efecto, ya sabemos que  “ a + d = b + c “

La igualdad que se verifica para todos los valores de las magnitudes que figuran en ella se llama “identidad”.

Si se aumenta o disminuye la misma cantidad a los dos miembros de una identidad, la igualdad subsiste.

Restando c a los dos términos tendremos:

“  a + d – c = b + c – c “

Y  simplificando,   “ b = a + d – c “,  tal como queríamos demostrar.

Ejemplo:  En la proporción aritmética 9 – 5 = 10 – 6 , comprobar que cada extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo.

Solución: 

·        La suma de los medios es  10 + 5 = 15.

·        El extremo 9 deberá ser igual a 15 menos el extremo 6.

·        En efecto, 9 = 15 – 6

·        El extremo 6 deberá ser igual a 15 menos el extremo 9.

·        En efecto 6 = 15 - 9

Aplicaciones:

1.       Hallar el término desconocido en la proporción aritmética 8-6=4-x

Solución:

Como el término desconocido es un extremo y tal como se ha visto anteriormente un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido.

Operando:  x = 6 + 4  - 8 

X = 2

Por lo tanto, la proporción aritmética resultante será 8 – 6 = 4 – 1

2.     Hallar el término desconocido en la proporción aritmética

8 – x = 4 – 1 

Solución:

Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:

X = 8 + 1 – 4   ; operando tenemos  x = 5

Por lo tanto, la proporción aritmética resultante será 8 – 5 = 4 – 1

3.     Hallar el término desconocido en la proporción aritmética                    14 – x = x – 2 . Aplicando  la suma de los extremos es igual a la suma de los medios:  14 + 2 = x + x ;  Operando tenemos 16 = 2 x

La igualdad  16 = 2 x  no es cierta para todos los valores de la magnitud “ x “ se llama ECUACIÓN   y  puede hallarse un valor de dicha magnitud tal que sustituido en ella la reduzca a una IDENTIDAD. Las magnitudes cuyos valores es preciso determinar para reducir la ECUACIÓN a IDENTIDAD, esto es, para SATISFACER LA ECUACIÓN, se llama INCÓGNITA,  y  suelen representarse por las últimas letras del alfabeto x, y , z ; los citados valores se denominan RAICES DE LA ECUACIÓN,  y  su determinación constituye la RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.

Se trata de resolver la ecuación  16 = 2 X ,  veremos que la SOLUCION se habrá logrado cuando “ x “ quede sola ( sin el 2 ) es decir, a la derecha del signo igual . Para eliminar el 2  del segundo miembro de la ecuación, recurriremos a la propiedad: “ Si se divide con la misma cantidad a los dos miembros de una ecuación, la igualdad subsiste”.

16 / 2  =  2 x / 2 ; Operamos en ambos miembros   8 = x

Por lo tanto, la proporción aritmética resultante será  14 – 8 = 8 – 2

Ejercicios y  Problemas

Calcular el término desconocido en las siguientes proporciones aritméticas. Aplicando Propiedades y luego desarrollarlas como ecuaciones de primer grado.

1)      5 – 2 = 7 – X 

2)     12 – 8 = 25 – X

3)      15 – X  = 14  - 1

4)     23 – X = 12 – 3